| dbo:abstract
|
- Cantorův paradox je poznatek publikovaný Georgem Cantorem roku 1899, který spolu s dalšími výsledky podobného typu (označovanými jako antinomie nebo paradoxy naivní teorie množin) vedl ke krizi klasické naivní teorie množin a jejímu následnému nahrazení axiomatickým systémem. (cs)
- Georg Cantor beschrieb in den Jahren 1897 bis 1899 mehrere Antinomien, durch die er bewies, dass bestimmte Klassen keine Mengen sind. Seine Beweise belegen, dass er keinen naiv-widersprüchlichen Mengenbegriff hatte, was wegen Cantors Mengendefinition oft behauptet wird. Er trennte schon Mengen als konsistente Vielheiten von inkonsistenten Vielheiten, die heute echte Klassen heißen. Weil Cantor seine Antinomien nicht veröffentlichte, sondern nur brieflich an David Hilbert und Richard Dedekind mitteilte, wurde seine Mengenlehre oft fälschlich als naive Mengenlehre eingeschätzt. Erst die Publikation seiner Briefe 1932 durch Zermelo machte bekannt, dass dem Erfinder der Mengenlehre schon sehr früh die Antinomie-Problematik bewusst war. Cantors Mengenaxiome aus ebendiesen Briefen bilden die älteste bemerkenswerte Lösung der Problematik. (de)
- In set theory, Cantor's paradox states that there is no set of all cardinalities. This is derived from the theorem that there is no greatest cardinal number. In informal terms, the paradox is that the collection of all possible "infinite sizes" is not only infinite, but so infinitely large that its own infinite size cannot be any of the infinite sizes in the collection. The difficulty is handled in axiomatic set theory by declaring that this collection is not a set but a proper class; in von Neumann–Bernays–Gödel set theory it follows from this and the axiom of limitation of size that this proper class must be in bijection with the class of all sets. Thus, not only are there infinitely many infinities, but this infinity is larger than any of the infinities it enumerates. This paradox is named for Georg Cantor, who is often credited with first identifying it in 1899 (or between 1895 and 1897). Like a number of "paradoxes" it is not actually contradictory but merely indicative of a mistaken intuition, in this case about the nature of infinity and the notion of a set. Put another way, it is paradoxical within the confines of naïve set theory and therefore demonstrates that a careless axiomatization of this theory is inconsistent. (en)
- La paradokso de Cantor aŭ Kantora paradokso (alinomita ankaŭ paradokso de la plej granda kardinala nombro) estas paradokso de aroteorio, kies argumento estis malkovrita de Georg Cantor en la 1890-aj jaroj. Ĝi troviĝas en letero de ĉi-lasta matematikisto al David Hilbert, datita 18971. Ĝi estas nomita de Bertrand Russell en siaj Principoj de Matematiko (Principia Matematica) de 1903. En tro naiva aroteorio, kiu konsideris ke ĉiu propreco posedas difinitan grupon, tia paradokso aperas kiel antinomio, kontraŭdiro de teorio, ĉar la kardinala nombro de la klaso de ĉiuj aroj estu tiam la plej granda kardinalo. Sed ĝi ne estas tio por Cantor, kiu iamatempe diris ke por li ne estis paradokso. La plej granda kardinala nombro ne estas aro kaj en moderna aroteorio la klaso de kardinaloj ne estas . (eo)
- Le paradoxe de Cantor, ou paradoxe du plus grand cardinal, est un paradoxe de la théorie des ensembles dont l'argument a été découvert par Georg Cantor dans les années 1890. On le trouve dans sa lettre adressée à David Hilbert, datée de 1897. Il est appelé ainsi par Bertrand Russell dans ses Principles of Mathematics de 1903. Le paradoxe énonce que l'existence d'un plus grand cardinal conduit à une contradiction. Dans une théorie des ensembles trop naïve, qui considèrerait que toute propriété définit un ensemble, ce paradoxe est bel et bien une antinomie, une contradiction déduite de la théorie, puisque le cardinal de la classe de tous les ensembles serait alors le plus grand cardinal. Mais ce n'en est pas une pour Cantor, qui n'a d'ailleurs jamais parlé de paradoxe. Pour lui, cela montre que le plus grand cardinal, s'il peut d'une certaine façon se définir, n'est pas un ensemble : reformulé en termes modernes et dans une théorie des ensembles axiomatique que ne connaissait pas Cantor, la classe des cardinaux n'est pas un ensemble. (fr)
- In matematica il paradosso di Cantor, conosciuto anche come il paradosso del massimo cardinale, è un teorema della teoria degli insiemi che afferma che non esiste un numero cardinale maggiore di tutti gli altri, e quindi la collezione di "grandezze" di insiemi illimitati è a sua volta infinita. Inoltre, da questa constatazione segue che la collezione di tutti i numeri cardinali non è un insieme ma una classe propria; nella Teoria degli insiemi di Von Neumann-Bernays-Gödel segue anche (utilizzando l'assioma di limitazione di dimensione) che questa classe propria deve essere in corrispondenza biunivoca con l'insieme di tutti gli insiemi. Quindi non solo esiste un numero infinitamente grande di infiniti, ma questo infinito è anche più grande di tutti gli infiniti che esso enumera. Questo paradosso prende il nome da Georg Cantor, che è stato spesso accreditato come il suo scopritore nel 1899 (o comunque in un periodo compreso tra il 1895 e il 1897). Come molti altri paradossi matematici non è contraddittorio, ma semplicemente è indicativo di una intuizione non corretta, che in questo caso riguarda la natura dell'infinito e la nozione di insieme. Detto in altri termini, è contraddittorio nella teoria intuitiva degli insiemi e perciò dimostra che questa teoria è insufficiente per le necessità della matematica. Il fatto che la teoria NBG risolva il paradosso è un motivo per utilizzarla come rimpiazzo della teoria intuitiva degli insiemi. (it)
- 집합론에서 칸토어 역설(영어: Cantor’s paradox)은 소박한 집합론의 역설의 하나이며, 모든 기수들의 모임이 집합을 이룰 수 없다는 것을 보인다. (ko)
- In de verzamelingentheorie is de paradox van Cantor de stelling dat er geen grootste kardinaalgetal bestaat, zodat de collectie van "oneindige groottes" zelf oneindig is. Voorts volgt uit dit feit dat deze collectie niet een verzameling, maar een klasse is; in de Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer volgt hieruit en uit het dat deze eigenlijke klasse een bijectie moet zijn met de klasse van alle verzamelingen. Er zijn dus niet alleen oneindig veel oneindigheden, maar deze oneindigheid is groter dan enige van de oneindigheden die hij opsomt! Deze paradox is genoemd naar Georg Cantor, die vaak wordt gecrediteerd met de eerste identificatie van deze paradox in 1899 (of tussen 1895 en 1897). Zoals vele wiskundige "paradoxen" is zij niet werkelijk tegenstrijdig, maar slechts indicatief voor een verkeerde intuïtie, in dit geval over de aard van oneindigheid en de notie van wat een verzameling is. Anders gezegd, het is paradoxaal binnen de grenzen van de naïeve verzamelingenleer, wat daardoor aantoont dat een onvoorzichtige axiomatisering van de naïeve verzamelingentheorie inconsistent is. (nl)
- Paradoks zbioru wszystkich zbiorów – paradoks tzw. „naiwnej” teorii mnogości odkryty w 1899 przez Cantora. Przykład antynomii logicznej (syntaktycznej), tzn. antynomii wynikającej z nie dość precyzyjnego używania pojęć teorii. Paradoks jest efektem następującego rozumowania: Przypuśćmy, że jest zbiorem wszystkich zbiorów i niech oznacza zbiór potęgowy zbioru
* Z jednej strony, zbiór jako zbiór wszystkich zbiorów zawiera w sobie także tzn. Stąd moc zbioru jest nie większa od mocy zbioru
* Z drugiej strony, na mocy twierdzenia Cantora zbiór ma moc istotnie większą od mocy zbioru Źródłem tego paradoksu była praktyka naiwnej teorii mnogości polegająca na definiowaniu zbiorów z użyciem formuł logicznych bez zatroszczenia się o istnienie „dziedziny” tej formuły, czyli zbioru, z którego wybieramy elementy spełniające tę formułę.Np. definicja Z={X:1=1} pozornie określa zbiór wszystkiego, w rzeczywistości określa ona klasę właściwą, a nie zbiór. Podobnie intuicyjna i prawdziwa dla wszystkich zbiorów formuła (wynikająca zresztą z aksjomatu regularności) pozwala w naiwnej teorii mnogości zdefiniować zbiór Jednak stwierdzenie, czy jakiś obiekt należy do tego zbioru, prowadzi wprost do paradoksu Russella. O ile w naiwnej teorii mnogości powyższe rozumowanie prowadzi do niewytłumaczalnej sprzeczności (stąd określenie paradoks), o tyle w aksjomatycznej teorii mnogości jest ścisłym dowodem na nieistnienie zbioru wszystkich zbiorów. (pl)
- Парадо́кс Ка́нтора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно. (ru)
- Em teoria dos conjuntos, o paradoxo de Cantor, devido a Georg Cantor, é o resultado que para todo conjunto, existe outro conjunto de maior cardinalidade. O nome paradoxo se deve a que um hipotético conjunto de todos os conjuntos seria estritamente menor que um dos seus elementos. Se a todos os conjuntos infinitos se pode atribuir um número transfinito, a sua cardinalidade, então tem de existir um conjunto cujos membros incluam todos os números transfinitos. Então este conjunto teria de ter como cardinalidade o último (o maior) dos números transfinitos - no entanto Cantor afirmou que não existe tal número! Mas há mais: será que este conjunto, uma vez que inclui todos os conjuntos infinitos, se inclui a si próprio? Paradoxo de Cantor é o paradoxo da teoria dos conjuntos que se obtém devido a considerar-se a cardinalidade do conjunto V de todos os conjuntos. Por um lado, esta cardinalidade não pode ser inferior à cardinalidade do conjunto das partes de V, pois todas as partes de V são conjuntos e. portanto, formam um subconjunto de V. Por outro lado, o Teorema de Cantor diz – precisamente – que a cardinalidade de um qualquer conjunto é inferior à cardinalidade do conjunto das partes desse conjunto. (pt)
- 在数学中，康托尔悖论是集合论的一个定理，即没有最大的基数，所以“无限大小”的搜集自身是无限的。进一步的，从这个事实得出这个搜集不是集合而是真类；在von Neumann-Bernays-Gödel集合论中从这个事实得出大小限制公理，即这个真类和所有集合的集合之間存在雙射。所以，不只是有无限多个无限，而是这个无限大于无限的任何枚举。 这个悖论以德國數學家格奥尔格·康托尔命名，他在1899年（或在1895年到1897年之间）首先提出了它。像多数数学悖论一样，它实际上不是矛盾，而是在关于无限本质和集合概念的情况下错误直觉的体现。换个方式说，它在朴素集合论中的确是悖论，從而证实了这个理论对数学發展的需要是不充足的。在其後的各個公理化集合論中，這個悖論已經被解決。 (zh)
- Парадокс Кантора — парадокс, сформульований Георгом Кантором (1899), який демонструє, що припущення про існування множини всіх множин, веде до протиріч. Парадокс показує недосконалість та суперечливість наївної теорії множин. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Cantorův paradox je poznatek publikovaný Georgem Cantorem roku 1899, který spolu s dalšími výsledky podobného typu (označovanými jako antinomie nebo paradoxy naivní teorie množin) vedl ke krizi klasické naivní teorie množin a jejímu následnému nahrazení axiomatickým systémem. (cs)
- 집합론에서 칸토어 역설(영어: Cantor’s paradox)은 소박한 집합론의 역설의 하나이며, 모든 기수들의 모임이 집합을 이룰 수 없다는 것을 보인다. (ko)
- Парадо́кс Ка́нтора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно. (ru)
- 在数学中，康托尔悖论是集合论的一个定理，即没有最大的基数，所以“无限大小”的搜集自身是无限的。进一步的，从这个事实得出这个搜集不是集合而是真类；在von Neumann-Bernays-Gödel集合论中从这个事实得出大小限制公理，即这个真类和所有集合的集合之間存在雙射。所以，不只是有无限多个无限，而是这个无限大于无限的任何枚举。 这个悖论以德國數學家格奥尔格·康托尔命名，他在1899年（或在1895年到1897年之间）首先提出了它。像多数数学悖论一样，它实际上不是矛盾，而是在关于无限本质和集合概念的情况下错误直觉的体现。换个方式说，它在朴素集合论中的确是悖论，從而证实了这个理论对数学發展的需要是不充足的。在其後的各個公理化集合論中，這個悖論已經被解決。 (zh)
- Парадокс Кантора — парадокс, сформульований Георгом Кантором (1899), який демонструє, що припущення про існування множини всіх множин, веде до протиріч. Парадокс показує недосконалість та суперечливість наївної теорії множин. (uk)
- Georg Cantor beschrieb in den Jahren 1897 bis 1899 mehrere Antinomien, durch die er bewies, dass bestimmte Klassen keine Mengen sind. Seine Beweise belegen, dass er keinen naiv-widersprüchlichen Mengenbegriff hatte, was wegen Cantors Mengendefinition oft behauptet wird. Er trennte schon Mengen als konsistente Vielheiten von inkonsistenten Vielheiten, die heute echte Klassen heißen. Weil Cantor seine Antinomien nicht veröffentlichte, sondern nur brieflich an David Hilbert und Richard Dedekind mitteilte, wurde seine Mengenlehre oft fälschlich als naive Mengenlehre eingeschätzt. Erst die Publikation seiner Briefe 1932 durch Zermelo machte bekannt, dass dem Erfinder der Mengenlehre schon sehr früh die Antinomie-Problematik bewusst war. Cantors Mengenaxiome aus ebendiesen Briefen bilden die ält (de)
- In set theory, Cantor's paradox states that there is no set of all cardinalities. This is derived from the theorem that there is no greatest cardinal number. In informal terms, the paradox is that the collection of all possible "infinite sizes" is not only infinite, but so infinitely large that its own infinite size cannot be any of the infinite sizes in the collection. The difficulty is handled in axiomatic set theory by declaring that this collection is not a set but a proper class; in von Neumann–Bernays–Gödel set theory it follows from this and the axiom of limitation of size that this proper class must be in bijection with the class of all sets. Thus, not only are there infinitely many infinities, but this infinity is larger than any of the infinities it enumerates. (en)
- La paradokso de Cantor aŭ Kantora paradokso (alinomita ankaŭ paradokso de la plej granda kardinala nombro) estas paradokso de aroteorio, kies argumento estis malkovrita de Georg Cantor en la 1890-aj jaroj. Ĝi troviĝas en letero de ĉi-lasta matematikisto al David Hilbert, datita 18971. Ĝi estas nomita de Bertrand Russell en siaj Principoj de Matematiko (Principia Matematica) de 1903. (eo)
- Le paradoxe de Cantor, ou paradoxe du plus grand cardinal, est un paradoxe de la théorie des ensembles dont l'argument a été découvert par Georg Cantor dans les années 1890. On le trouve dans sa lettre adressée à David Hilbert, datée de 1897. Il est appelé ainsi par Bertrand Russell dans ses Principles of Mathematics de 1903. Le paradoxe énonce que l'existence d'un plus grand cardinal conduit à une contradiction. Dans une théorie des ensembles trop naïve, qui considèrerait que toute propriété définit un ensemble, ce paradoxe est bel et bien une antinomie, une contradiction déduite de la théorie, puisque le cardinal de la classe de tous les ensembles serait alors le plus grand cardinal. Mais ce n'en est pas une pour Cantor, qui n'a d'ailleurs jamais parlé de paradoxe. Pour lui, cela montre (fr)
- In matematica il paradosso di Cantor, conosciuto anche come il paradosso del massimo cardinale, è un teorema della teoria degli insiemi che afferma che non esiste un numero cardinale maggiore di tutti gli altri, e quindi la collezione di "grandezze" di insiemi illimitati è a sua volta infinita. Inoltre, da questa constatazione segue che la collezione di tutti i numeri cardinali non è un insieme ma una classe propria; nella Teoria degli insiemi di Von Neumann-Bernays-Gödel segue anche (utilizzando l'assioma di limitazione di dimensione) che questa classe propria deve essere in corrispondenza biunivoca con l'insieme di tutti gli insiemi. Quindi non solo esiste un numero infinitamente grande di infiniti, ma questo infinito è anche più grande di tutti gli infiniti che esso enumera. (it)
- Em teoria dos conjuntos, o paradoxo de Cantor, devido a Georg Cantor, é o resultado que para todo conjunto, existe outro conjunto de maior cardinalidade. O nome paradoxo se deve a que um hipotético conjunto de todos os conjuntos seria estritamente menor que um dos seus elementos. (pt)
- In de verzamelingentheorie is de paradox van Cantor de stelling dat er geen grootste kardinaalgetal bestaat, zodat de collectie van "oneindige groottes" zelf oneindig is. Voorts volgt uit dit feit dat deze collectie niet een verzameling, maar een klasse is; in de Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer volgt hieruit en uit het dat deze eigenlijke klasse een bijectie moet zijn met de klasse van alle verzamelingen. Er zijn dus niet alleen oneindig veel oneindigheden, maar deze oneindigheid is groter dan enige van de oneindigheden die hij opsomt! (nl)
- Paradoks zbioru wszystkich zbiorów – paradoks tzw. „naiwnej” teorii mnogości odkryty w 1899 przez Cantora. Przykład antynomii logicznej (syntaktycznej), tzn. antynomii wynikającej z nie dość precyzyjnego używania pojęć teorii. Paradoks jest efektem następującego rozumowania: Przypuśćmy, że jest zbiorem wszystkich zbiorów i niech oznacza zbiór potęgowy zbioru
* Z jednej strony, zbiór jako zbiór wszystkich zbiorów zawiera w sobie także tzn. Stąd moc zbioru jest nie większa od mocy zbioru
* Z drugiej strony, na mocy twierdzenia Cantora zbiór ma moc istotnie większą od mocy zbioru (pl)
|
